3上海交通大学2002年硕士研究生入学考试试题

上海交通大学2002年硕士研究生入学考试数学分析试题

一、判断题(以下各题,对的证明,错的要举反例并说明理由)

1、若 n n n b x a ≤≤,而数列}{n x 收敛,0)(lim =-∞

→n n n b a ,则数列}{n a ,}{n b 必都收

敛。(6分)

解:对。证明:由n n n b x a ≤≤,有n n n n a b a x -≤-≤0,又0)(lim =-∞

→n n n b a ,由

夹逼定理有 lim n →∞

0=-n n a x ,又}{n x 收敛,则数列}{n a 收敛;同理可得数列}{n b 收敛。

2、若函数f x ()在R 上连续且有界,则f x ()在R 上必一致连续。(6分)

解:错。反例 2s i n )(x x f =在R 上连续且有界,但在R 上不一致连续。事实上,在R

上取,2

π+

='n x n

,πn x n 2='',显然有0→''-'n n

x x ,但1)()(=''-'n n x f x f 。 3、若函数)(x f 恒正连续,且无穷积分

?

+a

dx x f )(收敛,则必有0)(lim =+∞

→x f x 。

(6分) 解:错。不妨设2=a ,作???

??

??????

+<<<<-+-+≤≤+==,

线段,以区间端点为顶点的直,线段,以区间端点为顶点的直

,,2222211

)1(111,1,,3,2,

1)(i i x i i x i i i i x i i i n x x f ,

显然)(x f 恒正连续,且

+++++≤???

?

?

-++--

+

+

+ 22241

43

13231331331321

222

122

2

3121)(dx dx dx dx dx x f )()()()

()()()( ++++≤+++??

++++-++-++22211

111111

11213121312

22

2i dx dx i i i i i i i i

i 而级数

++++2221

3121i

收敛,则?∞+2)(dx x f 收敛。 但1)(lim =+∞

→n f n ,故 0)(lim ≠+∞

→x f x 。

4、若函数数列)}({x f n ,)}({x g n 均在区间I 上一致收敛,则)}()({x g x f n n ?必在区间I 上一致收敛。(6分)

解:错,反例,i

x g x f n

i n

n n 1)1()()(1

∑=-=

=,显然)}({x f n ,)}({x g n 均在区间R 上一

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